ઉપવલય $\frac{x^{2}}{50} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ પરના એવા બિંદુઓની સંખ્યા શોધો કે જ્યાંથી ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ પર પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય.

ધારો કે $S$ અને $S^{\prime}$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે અને $B$ એ તેના ગૌણ અક્ષનો એક અંત્યબિંદુ છે. જો $\triangle SBS^{\prime}$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

$15 \ cm$ લંબાઈનો એક સળિયો $AB$ બે યામ અક્ષોની વચ્ચે એવી રીતે રાખેલ છે કે જેથી અંત્યબિંદુ $A$ એ $x-$અક્ષ પર અને અંત્યબિંદુ $B$ એ $y-$અક્ષ પર હોય. સળિયા પર એક બિંદુ $P(x, y)$ એવી રીતે લેવામાં આવે છે કે જેથી $AP = 6 \ cm$ થાય. સાબિત કરો કે $P$ નો બિંદુપથ એક ઉપવલય (ellipse) છે.

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ ના કોઈપણ નાભિમાંથી તેના કોઈપણ સ્પર્શક પર દોરેલા લંબના પાદનો બિંદુપથ નીચેનામાંથી કયા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

$P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક ચલ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $P F_1 F_2$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $A$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે રેખા $y=mx$ અને ઉપવલય $2x^{2}+y^{2}=1$ પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ પર છેદે છે. જો આ ઉપવલયના બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષોને $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ અને $(0, \beta)$ માં મળે,તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.